¿Qué vamos a aprender en la asignatura Ecuaciones Diferenciales Aleatorias y Aplicaciones (EDAyA)?

By 21 marzo, 2019master

Juan Carlos Cortés, responsable de la asignatura Ecuaciones Diferenciales Aleatorias y Aplicaciones (EDAyA), nos lo cuenta esta semana.

La asignatura Ecuaciones Diferenciales Aleatorias y Aplicaciones (EDAyA) del Máster Investmat (UPV-UV) proporciona una formación multidisciplinar tanto desde el punto de vista de la teoría como de las aplicaciones.

En pocos contextos formativos se tiene la oportunidad de integrar, en una misma asignatura, áreas como el análisis, las ecuaciones diferenciales, la probabilidad, la estadística, los métodos computacionales y la modelización matemática, como sucede en EDAyA. Con ello, los estudiantes que estén más interesados en los fundamentos teóricos tendrán la oportunidad de aprender a extender la teoría clásica determinista a un escenario más general, el estocástico, mientras que aquellos que centren su interés en las aplicaciones, podrán aprender a trabajar rigurosamente con la modelización matemática basada en ecuaciones diferenciales cuyos inputs (condiciones iniciales/frontera, términos fuente y/o coeficientes) son variables aleatorias o procesos estocásticos, en lugar de tratarse, como es más clásico, como constantes o funciones deterministas. De este modo, quienes cursan la asignatura aprenden a resolver analítica y numéricamente ecuaciones diferenciales que contienen en su formulación aleatoriedad, integrando para ello las herramientas adecuadas del Cálculo Numérico, la Probabilidad, la Estadística, la Simulación, etc. e implementando los conocimientos adquiridos en sistemas de cómputo adecuados. La asignatura concluye mostrando la aplicación de los resultados tanto teóricos como computacionales para modelizar algunos problemas de gran interés actual como la modelización de activos financieros que cotizan en bolsa a partir de datos reales o la transmisión de enfermedades infecciosas usando datos de salud pública. En resumen, esta asignatura proporciona una formación integradora de diferentes áreas de las Matemáticas que tiene vocación de atender los intereses tanto teóricos como aplicados de estudiantes con diferente perfil formativo.

Investigación

Como un ejemplo de la investigación que puede realizarse en el área de la EDAyA, a continuación comentamos brevemente el trabajo “A comprehensive probabilistic solution of random SIS-type epidemiological models using the random variable transformation technique” Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation, Volume 32, March 2016, Pages 199-210, doi: 10.1016/j.cnsns.2015.08.009 realizado por los profesores de la asignatura, en colaboración con otros investigadores. El trabajo aborda la aleatorización completa de un importante modelo de la epidemiología matemática, denominado modelo SIS (Susceptibles-Infectados-Susceptibles), que se aplica para estudiar la dinámica de una enfermedad infecciosa o un hábito social que se transmite por la influencia de otras personas con las que interactuamos en nuestras relaciones sociales.

El modelo está basado en un sistema de ecuaciones diferenciales no lineales que se puede reformular como una ecuación de Riccati cuyos coeficientes representan las tasas de contagio y recuperación de la enfermedad, y que en la práctica no se conocen de forma determinista, por lo que es mucho más realista tratarlos como variables aleatorias, así como la condición inicial, la cual tiene naturaleza aleatoria, ya que se obtiene por muestreo sobre la población objeto de estudio. Con este planteamiento, se formula un modelo basado en una EDA. Es importante señalar que, a diferencia de lo que sucede en el contexto determinista, cuando se resuelve una ecuación diferencial aleatoria, la solución es un proceso estocástico, y el objetivo no es solo determinar rigurosamente su expresión matemática sino también obtener sus principales funciones estadísticas, tales como la función media y la función varianza que permiten construir predicciones puntuales (mediante la media) y probabilísticas (mediante intervalos de confianza).

En el trabajo se propone ir más allá y calcular la primera función de densidad de probabilidad (1-f.d.p.) la solución, a partir de la cual se caracteriza el comportamiento estadístico de la solución a través de todos los momentos estadísticos unidimensionales, permitiendo con ello obtener información más allá de la media y la varianza, como la simetría, la curtosis, etc. y sobre todo, determinar la probabilidad de que la solución -que como hemos dicho representa la evolución del porcentaje de infectados de una enfermedad o hábito social- varíe en un intervalo que pueda tener particular interés para las autoridades sanitarias. En el trabajo, los resultados teóricos se aplican para estudiar la dinámica del tabaquismo en España usando los datos del INE (Instituto Nacional de Estadística) a partir de los cuales se determinan las f.d.p. de los coeficientes de transmisión del tabaquismo, y para ello se integran las técnicas de estimación de la Estadística en el contexto de las ecuaciones diferenciales. Ello nos ha permitido realizar predicciones de la evolución del tabaquismo en España para los próximos años. El resultado más interesante del trabajo tiene una doble componente, por un lado, desde un punto de vista teórico, resolver un importante modelo epidemiológico basado en un sistema de ecuaciones diferenciales no lineales aleatorias en el escenario general en que todos los parámetros del modelo son aleatorios y asumiendo que cada uno de ellos tiene una f.d.p., determinando la 1-fdp del proceso estocástico solución, y desde el punto de vista práctico, ser capaces de dar una aplicación de los resultados teóricos para arrojar luz en el estudio de un problema de interés social usando datos reales.

Juan Carlos Cortés es catedrático del Dpto. de Matemática Aplicada y subdirector del Instituto Universitario de Investigación Matemática Multidisciplinar.